Mathématiques L3 - Analyse

Résumé

Description

Mathématiques L3 - Analyse est, avec les deux autres volumes de la collection (Algèbre et Mathématiques appliquées), le dernier volet d'une série couvrant les besoins des étudiants préparant la licence, le Capes ainsi que l'agrégation de mathématiques. Il regroupe tout ce qui est nécessaire en L3 : un cours complet et détaillé et 600 tests et exercices entièrement corrigés. Il renferme également beaucoup d'éléments utiles en vue de la préparation du master.

Particulièrement didactique, Mathématiques L3 s'applique à faire ressortir les raisons d'être et le sens de toutes les notions introduites. La présentation des outils fondamentaux est ainsi toujours assortie d'un grand nombre d'exemples concrets et les concepts analytiques sont reliés aux questions qui les ont fait naître. Quelques éléments d'histoire des mathématiques sont présentés pour illustrer l'ensemble des idées.

Tous les outils sont réunis pour faciliter la compréhension des concepts :
" de nombreux exemples illustrent le cours ;
" grâce à ses encadrés « Rappel », « Attention », « Méthode » et « Synthèse », Mathématiques L3 rappelle les notions fondamentales, souligne les pièges à éviter, récapitule la marche à suivre pour résoudre les problèmes et synthétise les sujets complexes ;
" posées au fil du texte, des questions tests incitent à une lecture active et indiquent au lecteur s'il peut poursuivre son étude ou s'il doit préalablement consolider ses connaissances ;
" enfin, Mathématiques L3 propose un entraînement sérieux en offrant un grand nombre d'exercices d'applications tous intégralement corrigés.

Table des matières

I - Topologie
01. Espaces topologiques
02. Espaces topologiques compacts
03. Espaces topologiques connexes
04. Dénombrabilité et suites dans les espaces topologiques
05. Espaces métriques
06. Espaces complets
07. Espaces vectoriels normés
08. Exemples d'espaces topologiques
09. Espaces de fonctions continues

II - Intégration et théorie de la mesure
10. L'intégrale de Riemann
11. Mesure de Lebesgue sur Rn
12. Théorie géométrique de la mesure
13. L'intégrale de Lebesgue
14. Calcul intégral
15. Les espaces L^p et L^p

III. Applications linéaires en dimension infinie
16. Le théorème de Hahn-Banach
17. Théorème de Baire et applications linéaires
18. Espaces de Hilbert
19. Opérateurs bornés
20. Spectre des opérateurs bornés

IV - Fonctions d'une variable complexe
21. Les fonctions analytiques
22. Fonctions holomorphes et théorie de Cauchy
23. Les propriétés fondamentales des fonctions holomorphes
24. Théorie de Cauchy homotopique
25. Singularités des fonctions holomorphes - Théorème des résidus
26. Espaces de fonctions holomorphes et méromorphes

V - Analyse de Fourier
27. Analyse fonctionnelle sur le tore
28. Analyse et synthèse spectrales sur le tore
29. Analyse de Fourier sur la droite réelle

VI - Calcul différentiel
30. La différentielle
31. Le théorème des accroissements finis
32. Les différentielles d'ordre supérieur
33. Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites et du rang
34. Problèmes d'extrema
35. La notion de sous-variété

VII - Équations différentielles
36. Les solutions d'une équation différentielle
37. Exemples explicites et études qualitatives
38. Le flot d'un champ de vecteurs
39. Étude locale d'un champ de vecteurs

VIII - Solutions des tests

IX - Solutions des exercices